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Zeigen Sie: Ist R ein nullteilerfreier Ring mit 1≠0 und gilt ∣R∣<∞, dann ist R ein Körper Ein Integritätsbereich I ist ein vom Nullring verschiedener nullteilerfreier kommutativer Ring mit einem Einselement. Wir müssen also zeigen, dass jedes Element ≠ 0 ein multiplikatives Inverses hat. Sei a ∈ I und a ≠ 0. Wir betrachten eine Abbildung Ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit Eins, ≠ Beweis (Die reellen Funktionen bilden einen kommutativen Ring mit Eins.) Beweisschritt: Unter der Addition ⊞ bildet eine abelsche Gruppe. Abgeschlossenheit: Die Summe zweier Abbildungen von nach soll wieder eine Abbildung von nach ergeben. Seien , ∈. Für jedes ∈ gilt (⊞) ∈. Folglich gilt ⊞ ∈. Das heißt ist abgeschlossen. Ein nullteilerfreier kommutativer Ring R mit Einselement heißt Integritätsring.Dabei bedeutet Nullteilerfreiheit, wenn gilt : x y = 0 )x = 0 _y = 0. Kommutativität, daßdie Operation kommutativ ist: a b = b a Einselement, daßes ein neutrales Element bzgl. der Multiplikation gibt : 9e 2R 8x : x e = e x = x. university-logo GrundlagenDer erweiterte euklidische AlgorithmusDer Restklassenring.

Beweis: Ausa b= 0unda6= 0folgt 0 = a10 = a1(a b) = (a1a) b= b; alsob= 0. Körper sind also stets nullteilerfrei 6 2. RINGE Beweis: (1) klar. (2) klar. (3) x ∈ a ∩b,y∈ a ∩c ⇒ x+y∈ a,x+y∈ b +c. Gilt oBdA a ⊇ b, so ist fu¨r x∈ a ∩ (b + c) zun¨achst x= b+ c mit b∈ b,c∈ c. Wegen a ⊇ b ist auch b∈ a und damit c∈ a, also b∈ a∩b,c∈ a ∩c. (4) Es ist (a +b)(a ∩ b) = a(a ∩b) +b(a ∩ b) ⊆ ab ⊆ a ∩b, also (a +b)(a ∩b) ⊆ ab; fu¨r a +b = Rgilt offenbar. Folgerungslemma : (Beweis trivial) (i) Jede Gruppe und jeder Ring ist ein Monoid. (ii) Es sind -, · , ., · , /, · 0, · und 12,% Monoide. FU Berlin - SS 2012: Lineare Algebra 1 Lösungen zum 2. Aufgabenblatt Definition [Ring, Schiefkörper] Ein Ring ist eine Menge R mit zwei inneren Verknüpfungen % und · mit den.

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Definition: Ein kommutativer nullteilerfreier Ring mit Einselement heißt ein Integritätsbereich. Die Ringe ℤ, ℚ, ℝ und ℂ sind Integritätsbereiche. Ebenso bildet die Menge aller Polynome f (x) mit reellen Koeffizienten bezüglich der üblichen Addition und Multiplikation einen Integritätsbereich. Restklassenringe. In den bisherigen Beispielen handelt es sich jeweils um einen Ring. Einfach zu zeigen ist: Ist R ein Ring, und r ∈ R, so ist 0 · r = 0 = r ·0. Beweis: Es ist 0 · r = (0 + 0) · r = 0 · r + 0 · r, also ist 0 · r ein idempotentes Element der Gruppe (R,+). Das einzige idempotente Element einer Gruppe ist aber ihr Einselement. R1.7. Man nennt einen Ring R nullteilerfrei, wenn fur je zwei Elemente¨ r,r′ ∈ wenn K einen Nullteiler besitzt, es also a,b aus K\{0} gibt mit a*b=0 dann sind die konstanten Polynome a,b auch Nullteiler im Polynomring. Umgekehrt: Wenn im Polynomring etwa p=anxn+ an-1xn-1+

In der Algebra ist ein Integritätsring oder Integritätsbereich ein vom Nullring verschiedener nullteilerfreier kommutativer Ring mit einem Einselement. Alternativ kann man einen Integritätsring definieren als einen kommutativen Ring mit 1, in dem das Nullidea Es sei R ein kommutativer Ring mit Eins. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen: a) Ist R nullteilerfrei, so ist f¨ur jedes Primideal P ⊳R die Lokalisierung RP nulltei-lerfrei. b) Ist f¨ur jedes Primideal P ⊳R die Lokalisierung RP nullteilerfrei, so ist R nulltei-lerfrei. L¨osung: a) Sei R nullteilerfrei. Sei P ⊳R ein Primideal. ⇒ RP = {r s: r ∈ R,s ∈ R \P} ⊆ Quot. §2 Der Ring der ganzen Zahlen Die additive Gruppe der ganzen Zahlen. Zielvorstellung. Die ganzen Zahlen sollen eine abelsche Gruppe (G,+) bil- den, welche N umfaßt und so daß gilt: (i) Jedes Element aus G schreibt sich in der Form a−b mit a,b ∈ N. (ii) 0 ∈ N ist das neutrale Element von G. Es folgt: Sind a,b,c,d ∈ N so gilt (∗) a−b = c−d in G ⇐⇒ a+d = c+b in N. Wir wollen. Da Z[i] ein nullteilerfreier kom-mutativer Ring ist, hat man in Z[i] den Teilbarkeits-Begriff zur Verfugung (¨ z|z Beweis: Sei a|b in Z[i]. Es gibt also z ∈ Z[i] mit az = b. Sei z = z1 + z2i mitz1,z2 ∈ Z. Dann ist b = az = a(z1 + z2i) = az1 + bz2, und demnach stimmen die Realteile b und az1 ¨uberein: es gibt also z1 ∈ Z mit b = az1. Ganz wichtig ist auch folgende Regel: Aus z|z

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Zeige zunächst, dass Z/4Z ein kommutativer Ring ist (Ringaxiome). Dass Z/4Z nicht nullteilerfrei ist, kann man einfach durch Angabe eines Nullteilers zeigen: Nullteiler des Z/4Z ist 2, denn 2 * 2 ≡ 0 mod Ein Integritätsring ist ein nullteilerfreier, kommutativer Ring mit einem von Null verschiedenen Einselement. Definition 2. Ein Integritätsring mit einer Abbildung δ : R\{0} → N heißt Euklidischer Ring, wenn gilt: ∀f,g ∈ R, g 6= 0 ∃q,r ∈ R : f = q·g +r und δ(r) < δ(g). Beispiele • Im obigen Beispiel des Ringes Z kann man δ : Z\{0} → N , z 7→ |z| wählen. =⇒ (Z,δ.

Beweisarchiv: Algebra: Körper: Endlicher

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